易群
Xiaoming Guo 郭晓明
一、序
群是是一种数学结构,末尾我们会给出其数学定义。易是《易经》,本文是关于《易经》六十四卦构成一个群结构的文章。
阴阳是两要素体系。中国古代哲学用阴阳概念组织了许多华夏文明积累的知识。阴阳概念已经是华夏文化不可分割的一部分。五行是五元素体系,金木水火土。这个体系有两种运算,相生和相克。两种运算和五个元素构成一个可以复杂运算复杂运动的体系,成为中医的哲学基础。中医如此庞大的理论体系竟然有五个元素和两个运算来支撑,那么,64个元素及其64个运算的《易经》之上建立宇宙模型理论则具备足够的理论解释能力。
河南殷墟出土的甲骨文有4000多,3千年前有4000多字,估计华夏文明发明文字的历史可以上朔到更加久远的古代。4000多字是非常完善的文字体系。这些文字用来做什么用呢?占卜。占卜是古代的运筹学,相对于今天国家宏观经济调控。古代占卜运筹,根据历史记载,不比今天经济学家预测差。《易经》64卦就是蓍草之形,就是筹签之形,运算筹签,就运筹学。
人类脱离动物,从基因本能行为变为文化行为。动物基因本能行为模式是:外部刺激-本能反应。人类文化行为模式是:外部刺激-思考-作出反应行为。其中思考基于知识,知识在于记忆积累观察。所以,记忆非常重要。记忆的模式是:外部刺激-思维运动。外部刺激包括眼睛受到光线的刺激、鼻子受到分子的刺激等感官刺激等。思维运动在于分析,比较、分类等,把感官接受到的信息转化为知识。即人类文化行为模式:“外部刺激-思考-行为”可以分为时间上不连接的两部分:前一部分是“外部刺激-思维运动”,是记忆,是知识积累。后一部分是“思维运动-行为”,是计划行为。即在没有外部刺激的情况下作出的主动行为,是意志力行为。
中国史学发达,自古重视史,史官独立,是制度化的社会记忆。所以,华夏文明延绵至今不断,和中国的史官制度不无关系。远古时期,在有文字之前,部落除了头人以外,最重要的最受尊重的老人是司仪,她唱颂古老的史诗,讲述古老的故事,延续久远的记忆,积累漫长的知识。
单靠口头文学记忆只能记忆大事件,日常琐事难以一一纪录,于是有了结绳记事。河图洛书就明显是结绳记事的图象。从口述文化进入到物理符号的结绳记事是人类文明一大进步。当记忆符号物质化以后,就可以排出序列,产生数。符号的不同摆布操作逐步演化为运算。
部落司仪于是有了更多的社会功能,她要布置许多符号,不同的庆典和红白喜事有不同的符号布置。由于对不同的事件有不同的符号布置,其反作用是符号的运营的不同决策了部落重大行为:如迁徒、战争等。原始的符号运算是占卜、原始是运筹学和决策机制是占卜。执掌占卜的职能具有部落重大事件决策的权威,她运筹符号,解释符号,给出决策。她实掌生杀予夺的占卜决策大权。
占卜是原始的计划行为:运算蓍草龟板-部落行为,今天是:运筹决策-行为。西方《圣经》充满利益纠纷,战争,屠杀,善恶等等。而《易经》只讲宇宙原理,非常超脱,其价值中性的论述,如同一本数学原理著作的风范。
周易,是华夏文化从野蛮走向文明的文化源头经典,是儒道共同推崇的群经之首。华夏文明很早就是人本文明,而西方至今在宗教文明内徘徊难以自拔,《周易》把超自然做为运筹学是根本原因:华夏文明早在五帝远古年代,早在伏羲年代,就认为人类可以控制和利用超自然,而不是被超自然控制。中西文明在远古时期就走上了不同的道理:华夏文明是人本文明,西方文明是神本文明。
《易经》为中国十三经之首。《易经》和其它十二经不同。其它十二经是文字经典,《易经》除了文字,还有卦象和数。今天,小说就都是文字,高等数学书就有文字、数字和符号。可见,《易经》和今天高等数学书有共性:文、数、象。
二、易卦数学结构
占卜,有本卦和变卦。本卦到变卦就是一种数学运算。让我们把这些运算归纳出来。
定义一:一个卦g在易经中有六爻组成,从下至上六个爻为分别定义为初、二、三、四、五和上爻位。每个爻位可以放两种爻之一,阴爻和阳爻。阴爻名六,阳爻名九。
例1.1:
乾卦的卦像就是{初九、九二、九三、九四、九五、上九},坤卦的卦像就是{初六、六二、六三、六四、六五、上六}。
推理1.1:
一个卦g就是六维布尔空间中一个点(a、b、c、d、e、f)。
例1.2:
每个位可以放阳爻或阴爻。令阳爻为1,阴爻为0,则:
乾卦就是(1、1、1、1、1、1),坤卦就是(0、0、0、0、0、0)。
推理1.2:
六维布尔空间总共有64个点。这些点的集合G就是易卦空间。一个卦变f,就是G到G的一个映射,或G到G的一个函数,或定义在G空间上的一个单元素操作。
中国易学中所有卦变F组成一个G到G的映射的集合。下边让我们整理这个中国易学卦变集合的元素。
1、消息。
定义2:
将一个卦g中的某些爻变性,得到一个新卦g’,称为消息。由阳变阴谓之消,由阴变阳为之息。如蒙卦(0、1、0、0、0、1)消二息一就变成颐卦(1、0、0、0、0、1)。
对于一个卦,总存在一个消息将其变为任意指定的另一个卦。即总共应该有63个消息操作。如果我们把零消息操作加进去,即无消无息也算作一个消息操作,那么我们就有64个消息操作。这六十四个消息组成G的共轭空间F。这样,卦像空间G包涵64个卦象g(b),消息操作空间F包涵64个消息操作f(b),其中b是六维布尔空间的一个点。即对应于六维布尔空间的一个点b,我们可以有一个易卦g(b)和一个消息f(b)。例如比卦(0、0、0、0、1、0)可以代表易卦空间G中的一个卦象,也可以代表消息F中的一个消息f(5),即第5爻变性的消息操作。
G空间的元素是卦象,每个卦象有六个爻位,可以放阳爻1,也可以放阴爻0。F空间的元素的消息,每个消息也有六个爻为,可以放阳爻1,表示该爻是变爻;也可以放阴爻0,表示该爻不变。
定义3:
当一个卦象用做代表一个G到G的映射的时候,消息象中的阳爻指示本卦相应爻位上的爻为变爻,消息象中的阴爻指示本卦相应爻位上的爻为不变爻。
例3.1:履卦(1、1、0、1、1、1)用作代表消息操作的时候,就表示初、二、四、五、上为变爻,等价于消息f(12456),即第1、2、4、5、6爻变化。
例如
f(12456)泰卦(111000)=遁卦(001111),即履卦代表消息操作的时候,把本卦泰卦变为变卦遁卦。
消息在占卜中有普遍的应用。占卦是占得本卦和变爻,则变爻改变爻性得到变卦,这就是消息操作。乾卦对应于f(123456),即六爻皆变。坤卦对应于零消息f(0),即不变,或没有占得变爻。即乾卦对应于极大的消息,坤卦对应于极小的消息。乾卦至动,坤卦至静。
定理1:
任何一个消息作用两次等于零消息。
如f(5)将第5爻变性,消息第5爻,变性一次以后,得到新卦,用f(5)对新卦再操作一次,则返回本卦。定理1表达为f(b)f(b)=f(0)。即重复使用一个卦对应的消息操作等于坤卦对应的消息操作,即零操作。
推理1.1:在消息空间中,乾乾为坤;其中乾和坤不是卦象,而是消息象。
推理1.2:在消息空间中,所有卦的平方都是坤。即乾乾为坤,但坤坤还是坤。坤主聚,如大海纳百川。注意,这里说的是消息空间,是操作符空间,有别于易卦象空间。消息空间中消息象中阳爻指示变爻的爻位,而阴爻指示不变的爻位。
传统习惯是对一事只能占卦一次,再占就不灵了。不能占到自己不喜欢的卦就不要,重新再占一次。我以为这种传统和定理一并没有必然关联,传统是对占卦人的权威的尊重和对所得卦神机的敬重。
2、旁通。旁通就是将一个卦的所有爻都变性卦变为新卦。如乾卦的傍通就是坤卦。需卦(1、1、1、0、1、0)旁通就变为晋卦(0、0、0、1、0、1)。旁通是消息的一个特例,就是乾卦代表的消息操作。
3、往来。往来就是两个不同爻位上的爻交换。如屯卦(1、0、0、0、1、0)二五往来就卦变为临卦(1、1、0、0、0、0)。往来操作共有5+4+3+2+1=15个。对于这15个往来操作中的7个屯卦变回自身,或者说,对于其中7个往来操作,屯卦是不动点。
定理2:任何一个往来操作w(ij),把易卦象空间G分为这样两个子卦象空间:i爻位与j爻位爻性相同的卦组成子卦象空间E(ij),i爻位与j爻位的爻性不同的卦组成的子卦象空间M(ij)。w(ij)作用于E(ij)空间里的卦相当于零消息f(0)操作,w(ij)作用于M(ij)里的卦象相当于f(ij)操作。如二五往来w(25)对于E(25)空间等于坤消息,对于M(25)等于坎消息。E(ij)有32个卦象,M(ij)也有32个卦象,E(ij)+M(ij)=G。M(ij)空间又分为16对卦象,每对卦象在往来w(ij)作用下相互转换,你变成我,我变成你。
4、内八卦组合。
定义4:八卦是三维布尔空间B(3)的点。
八卦为坤(0、0、0),震(1、0、0),坎(0、1、0),兑(1、1、0),艮(0、0、1),离(1、0、1),巽(0、1、1),乾(1、1、1)。
定义5:每个易卦可以生成四个内八卦:(初、二、三),(二、三、四),(三、四、五),(四、五、六)。其中(初、二、三)和(四、五六)称为上下卦,(二、三、四)和(三、四、五)称为互体卦。
例5.1:小畜卦(1、1、1、0、1、1)生成内八卦乾(1、1、1),兑(1、1、0),离(1、0、1),巽(0、1、1)。其中乾和巽是易卦小畜的上下卦,兑和离是易卦小畜的互体卦。
定义6:把两个八卦上下相叠而构成一个易卦,记作B(3)X B(3)=G。即易卦空间是两个八卦空间的直积。
定义7:用本卦生成的四个内八卦相叠而构成的变卦定义为内八卦组合操作。
共有12个内八卦组合卦变操作。
例7.1:
否卦(0、0、0、1、1、1)有四个内八卦坤、乾、艮、巽。
内组合乾上坤下为本卦,是内八卦组合中的不变操作。
内组合坤上乾下为泰卦,本卦否变为变卦泰就是把上下八卦相互易位,这个操作在传统中称为“上下象易”。
互体八卦的内组合:艮上巽下得变卦蛊,巽上艮下得变卦渐。传统称为互体卦变。
互体卦和上下卦的内组合艮上坤下、巽上坤下、艮上乾下、巽上乾下、以及这四个变卦的上下易象,传统称为“连互”卦变。
5、反对。倒转就是把一个卦反过来看,这个新卦称为原卦的复卦。如讼卦(0、1、0、1、1、1)反对成为需卦(1、1、1、0、1、0)。
无论是内八卦组合还是反对,对于某特点的易卦,都对应于某个消息操作。如讼卦反对成需卦,对应的消息是f(1346),即初、三、四、上爻消息。反之,如果占得本卦和变爻得到的变卦刚好是某个反对操作、或者内组合操作、或者上下易象操作,或者往来操作,那么,这个变卦就揭示了本卦的什么特性在这个变卦中起来作用,这有点像“性格决定命运”。即同样的环境和外部条件,同样的消息,本卦不同,结果大不一样。在同样的消息操作下,某些易卦是一成不变,某些易卦变为反对,某些卦变为往来,某些卦变回胡体等等。
64个消息操作F是完备的卦变操作集合,其它卦变操作等价于某个消息操作,是否等价以及等价于那类卦变操作是由本卦的结构决定的,因而揭示了卦象的某些特征。
三、易群
定义8:
现在,我们在G空间上定义一个乘法
g(i)·g(j) = g(k)
这个乘法的定义为前边左边一个卦g(i)作用于右边一个卦g(j)得到一个新卦g(k)。对应于上文,这里的g(j)就是本卦,g(k)就是变卦。g(i)就是这个变化对应的操作,在上文中,我们说g(i)在F空间,这是多余的,g(i)完全可以就是G空间的一个元素,它作用于g(j)就是如定义3那样,g(i)卦中的阳爻改变g(j)中间对应爻位的爻性而得出g(k),这就是乘法的定义。
显然这个定义满足群的定义。
1)G内两个元素的乘积还是G内的一个元素。
2)满足结合律 {g(i)·g(j)}·g(k) = g(i)·{g(j)·g(k)}
3)存在单位元素。坤卦g(0)就是单位元素,满足 g(0)·g(i)=g(i).
4)G内任何一个元素都有逆元素。根据定理一,每个元素都是自身的逆元素
g(i) = 1/g(i) ; g(i)·g(i) = g(0)
1)到4)就是数学中群的定义。64卦按照定义8定义的乘法就构成了一个群。这个群就是易群。